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梅森素数:数学海洋中的璀璨明珠

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2017-03-25 算法与数学之美


2008年8月,美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)的计算机专家史密斯(E.Smith)通过参加了一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目,发现了第46个也是最大的梅森素数243112609-1,该素数也就是2自身相乘43112609次减1,它有12978189位数,如果用普通字号将这个巨数连续写下来,它的长度可超过50公里!最近,这一成就被美国的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一,排名在第29位。


人类迄今只找到46个梅森素数


素数也叫质数,是只能被1和自身整除的数,如2、3、5、7等等。公元前300多年,古希腊数学家欧几里得用反证法证明了素数有无穷多个,并提出了少量素数可写成2p-1(其中指数P为素数)的形式。此后许多数学家,包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等都研究过这种特殊形式的素数,而17世纪的法国数学家梅森(M.Mersenne)是其中成果最为卓著的一位。  由于梅森学识渊博,才华横溢,并是法兰西科学院的奠基人,为了纪念他,数学界就把2p-1型的数称为“梅森数”,并以Mp记之(其中M为梅森姓氏的首字母);如果Mp为素数,则称之为“梅森素数”(Mersenne prime)。2300多年来,人类仅发现46个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人,因此被人们誉为“数学海洋中的璀璨明珠”。梅森素数一直是数论研究的一项重要内容,也是当今科学探索的热点和难点。  


貌似简单却难度极大的探究


梅森素数貌似简单,但研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。1772年,瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下,靠心算证明了M31(即231-1=2147483647)是一个素数。它具有10位数字,堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已,他因此获得了“数学英雄”的美誉。难怪法国大数学家拉普拉斯(P.Laplace)向他的学生们说:“读读欧拉,他是我们每一个人的老师。”在“手算笔录年代”,人们历尽艰辛,仅找到12个梅森素数。  电子计算机的出现,大大加快了探究梅森素数的步伐。1952年,美国数学家鲁滨逊等人将著名的卢卡斯-雷默方法编译成计算机程序,使用SWAC型计算机在短短几小时之内,就找到了5个梅森素数:M521、M607、M1279、M2203和M2281。  1963年9月6日晚上8点,当第23个梅森素数M11213通过大型计算机被找到时,美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放,在第一时间发布了这一重要消息。发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲,为让全世界都分享这一成果,以至把所有从系里发出的信封都盖上了“211213-1是个素数”的邮戳。  随着素数P值的增大,每一个梅森素数Mp的产生都艰辛无比;而各国科学家及业余研究者们仍乐此不疲,激烈竞争。例如,在1979年2月23日,当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第26个梅森数M23209时,有人告诉他们:在两星期前美国加州的高中生诺尔就已经给出了同样结果。为此他们又花了一个半月的时间,使用Cray-1型计算机找到了新的梅森素数M44497。这件事成了当时不少报纸的头版新闻。  为与美国较量,英国原子能技术权威机构——哈威尔实验室专门成立了一个研究小组来寻找更大的梅森素数。他们用了两年时间,花了12万英镑的经费,于1992年3月25日找到了新的梅森素数M756839。不过,1994年1月14日,史洛温斯基等人为美国再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠——这一素数是M859433。由于史洛温斯基一共发现7个梅森素数,他被人们誉为“素数大王”。  由于梅森素数在正整数中的分布是时疏时密极不规则的,因此研究梅森素数的重要性质——分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中,提出了一些猜想。英国数学家香克斯、法国数学家伯特兰和托洛塔、印度数学家拉曼纽杨、美国数学家吉里斯和德国数学家伯利哈特等都曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测,但他们的猜测有一个共同点,就是都以近似表达式给出,而与实际情况的接近程度均难如人意。


中国数学家和语言学家周海中对梅森素数研究多年,他运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式,从而揭示了梅森素数的重要规律,为人们探究这一素数提供了方便。后来这一科研成果被国际上称为“周氏猜测”。  





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