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朗兰兹纲领:一项伟大的数学工程

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2017-03-29 孙斌

在1967给数学家安德烈·韦伊的信中,数学家朗兰兹提出一个著名的猜想,现称为朗兰兹互反猜想。这个猜想后演变成朗兰兹纲领,在过去几十年对数学的发展产生了极大的影响。 


背景介绍 
我们认识数学基本上都是从整数开始的,然后是简单的几何与多项式方程。一个最古老的数学分支 - 数论,就是研究整数的。整数中间有无穷的魅力、奥秘和神奇,始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。著名的问题包括哥德巴赫猜想,孪生素数猜想,费马大定理等。 

几何同样是最古老的数学分支。古希腊人对直线、圆周以及圆锥曲线的研究到后来发展成为代数几何,这个分支专门研究多项式方程对应的图形。过去一百多年来,代数几何的发展非常迅速,大家辈出,在数学其他分支和数学物理中都有很深刻的应用。已获菲尔兹奖的数学家中约三分之一的工作与代数几何有关。 

群论的产生只有一百多年,源于多项式方程的求根公式。人们很早就会解一元一次方程和一元二次方程,一元三次方程和四次方程的公式解在十六世纪被找到。一个重要的数学分支――群论在探索方程的根式解的过程中诞生了。方程是否有根式解与相应的群是否可解为一回事。群论的诞生改变了数学的面貌,影响几乎遍及整个数学,在物理和化学及材料科学中有很多的应用,是研究对称的基本工具。

朗兰兹纲领指出这三个相对独立发展起来的数学分支:数论、代数几何和群表示论,实际上是密切相关的,而连接这些数学分支的纽带是一些特别的函数,被称为L-函数。L-函数可以说是朗兰兹纲领的中心研究对象。数学界著名的七个“千禧年大奖问题”中有两个就是关于L-函数的,它们分别是黎曼假设和BSD猜想。它们的重要性由此可见一斑。 

朗兰兹提出了怎样对一般的简约群的自守表示定义一些L-函数,并猜测一般线性群自守表示的一些L-函数跟来自数论的伽罗华群的一些表示的L-函数是一样的。这个猜想被朗兰兹本人和其他数学家进一步拓展、细化,逐渐形成了一系列揭示数论、代数几何、表示论等学科之间深刻联系的猜想。朗兰兹纲领就是对这些猜想和相关问题的研究。

朗兰兹纲领研究在中科院数学院 

自朗兰兹互反猜想提出起,朗兰兹纲领就引起了众多数学家的兴趣。目前,几乎所有顶尖的欧美大学数学系都有人研究朗兰兹纲领。 

上世纪末,朗兰兹纲领及相关课题的研究在中科院数学院逐步发展起来。现在,中科院数学院已经拥有一支研究朗兰兹纲领的年富力强的团队,并取得了一系列重大成果(其中,前两项是和国外数学家合作完成),最突出的有以下几项:

1、证明了Theta对应的三个最基本的论断。罗杰·豪尔开创的Theta对应理论有三个最基本的论断,分别称为豪尔对偶猜想、重数保守猜想和库德拉-拉利斯守恒律猜想。 

 2、完成了重数——猜想的证明,并证明了一系列与此相关的重要唯一性定理。 

3、对亚辛群系统研究了迹公式,特别地,建立了亚辛群的迹公式椭圆部分的稳定化。 
   
 4. 证明了卡日丹和马祖尔在上世纪70年代提出的一个局部zeta积分非零的假设。

来源:《紫光阁》杂志



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