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无穷存在吗?

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2016-11-02 算法与数学之美
 
 
无穷大的存在问题是一个令人惊讶的古老问题。亚里士多德首先引入了一个明确的区分,以帮助理解它的意义。他区别两种不同的无穷大。其中之一,他称之为潜在无穷大:这种无限大刻画了无止境的宇宙或一个永无休止的名单,例如自然数1、2、3、4、5,等等,永远继续下去。这些是没有结束的列举或没有边界的疆场,你永远无法到达数的终点,或乘太空飞船达到无休止的宇宙终端。亚里士多德很乐意这些潜在的无穷大,他认识到,它们的存在在他关于宇宙的思维方式中没有制造任何大麻烦。

亚里士多德将所谓的实际无穷大与潜在无穷大相区分。这些将是你可以测量的局部的东西,例如固体的密度、光的亮度或一个物体的温度,在某个特定地方或时间变成无限。你将能在宇宙中局部地遇到这种无限。亚里士多德禁止实际无穷大:他认为它们是不可能存在的。这与他的本质上不可能有完美的真空的信念是一致的。如果可能的话,他相信人们能够推动一个物体并加快到无穷的速度,因为它不会遇到阻力。

几千年来,亚里士多德的哲学构成西方和基督教教义关于宇宙本质的基础。人们继续认为,实际的无穷不可能存在,如果存在的话,那么唯一实际无穷是神性。

但在19世纪接近尾声时,数学家乔治·康托尔发展了一种更微妙的方式定义数学的无穷,它使数学世界开始发生变化。康托尔认识到,有一个最小类型的无穷大:永无休止的自然数列1、2、3、4、5...。他称这是一个可数无穷大。任何其他的无穷大,如果可以通过把其成员以一对一的方式对应到所有自然数,也被称为可数无穷大。
 
 
这个想法有一些有趣的后果。例如,所有的偶数全体也是一个可数无穷大。直觉上,你可能会认为偶数只有自然数的一半多,因为对有限个数的列举这是对的。但是,当列举变得无止境后,这不再为真。你可以给出一个从1到2、从2到4、从3到6等等直到最后的两个列举之间的一一对应。每个偶数将对应到自然数列中的一个唯一的相关数,所以这两个数集有同样多的数。伽利略首先发现了这个事实(尽管他数的是平方数1、4、9、16,等等,而不是偶数),因为感到太奇怪了,导致他不再进一步思考任何无限集合。他认为,这件事有一些危险的自相矛盾之处。然而,对于康托尔而言,能够在数集和其子集之间建立一个一一对应的关系,是一个无限集合的标志性特征。
 
 
同样,所有有理数的全体,也就是所有的分数,是可数无穷大。系统列举这些数的方法是把分数的分子和分母加起来,然后先写下所有分子分母和为2的分数(只有一个,1/1),然后所有加起来为3的分数(1/2和2/1),依此类推。每次你只计数有限多个的分数(p+q=n的分数p/q个数是n-1)。这是计数所有有理数的一个可靠配方:你不会错过任何数。这表明,有理数是可数的,即使在直观感觉上,分数似乎比自然数多得多。
 
 
康托尔接着证明,还有其它类型的无穷大,并在某种意义上比可数无穷大要大得多,因为它们不能以可数无穷的方式来计数。这样一个无穷大的特征由所有实数的全体体现。像实数一样,这些都不可能被计数,没有系统地列出它们的方案。这种不可数无穷大也被称为连续统。

但是找到这个无限大的实数集并不是故事的结束。康托尔证明,你仍然可以找到越来越无限大的集合,一路向上直到永远,没有最大可能的无限集合。如果有人给你一个无穷集合A,您可以构建一个更大的集合,不与A一一对应,该集合就是A的所有可能的子集全体。这永无止境的无穷之塔通向一个称为绝对无穷大的东西---无穷塔最末的那个遥不可及的顶峰。

在数学上,康托尔把无穷处理为实际的东西,而不是潜在的。你可以将它们相加,比如一个可数无穷大加上另一个可数无穷大结果也是可数无穷大。关于是否应该允许这样做在数学上可以大做文章。有些数学家认为,如果允许康托尔的超限量(它们被如此称作)进入数学,你可能在一些地方引进某种类型的细微矛盾。如果你将矛盾引入一个逻辑系统,那么最终你将能证明什么都是真的,那则会带来整个数学系统的崩溃。

这种担心导致有限主义或构造主义数学的诞生,它只允许数学对象通过有限次的逻辑论证步骤来构造。这样的数学就变成了有点像电脑那样做事,可以设置某些公理,仅仅通过有限步的逻辑步骤推导出的东西才被认为是真的。这意味着你不能把反证法(或排中律)作为证明的公理,反证法先假如结果不成立,然后推导出矛盾,这样原命题的结果必定成立。这个构造主义观点的19世纪支持者是荷兰数学家L.E.J.布劳威尔和德国数学家L. 克罗内克,外尔在20世纪对此也感兴趣了一段时间。有一些数学家们由于哲学和其他原因以这种方式定义数学,还有一些只是感兴趣于在这个限制的情形下到底可以证明些什么。

但一般而言,康托尔的想法已被接受,今天它们形成纯数学的一个分支。这导致一些哲学家,甚至一些神学家,重新考虑他们关于无穷的古老态度。因为有许多种类的无穷大,很清楚你不必把数学无穷的出现看成是对中世纪的神学家认为的神性的某种挑战。康托尔的想法实际上最先受到当代神学家的热情追捧,而不是数学家。科学家们也开始区分数学的无穷和物理的无穷。在数学上,如果你说某物“存在”,你的意思是,对于给定的一组特定规则,它并没有引入逻辑上的矛盾。不过,这并不意味着它可以坐在你的办公桌上,或在某个实处运行。独角兽不是逻辑上不可能的,但是,这并不意味着从生物的意义上它存在。当数学家证明了非欧几何存在时,他们只是发现了存在一个公理系统,允许他们不会走向自相矛盾。
 
 

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