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当代最伟大数学家讲述二十世纪的数学 (续)

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2016-10-29 算法与数学之美
本文作者Michael Atiyah爵士,英国数学家,被誉为当今最伟大的数学家之一。
原文链接:http://www.managershare.com/post/197048


物理的影响


现在让我把话题转到一个不同的主题,即谈谈物理的影响。在整个历史中,物理与数学有着非常悠久的联系,并且大部分数学,例如微积分,就是为了解决物理中出现的问题而发展起来的。在二十世纪中叶,随着大多数纯数学在独立于物理学时仍取得了很好的发展,这种影响或联系也许变得不太明显.但是在本世纪最后四分之一的时间里,事情发生了戏剧性的变化,让我试着简单地评述一下物理学和数学,尤其是和几何的相互影响。


在十九世纪,Hamilton发展了经典力学,引入了现在称为Hamilton量的形式化。经典力学导出现在所谓的“辛几何”.这是几何的一个分支,虽然很早已经有人研究了,但是实际上直到最近二十年,这个课题才得到真正的研究.这已经是几何学非常丰富的一部分。几何学,我在这里使用这个词的意思是指,它有三个分支:Riemann几何,复几何和辛几何,并且分别对应三个不同类型的李群。辛几何是它们之中最新发展起来的,并且在某种意义下也许是最有趣的,当然也是与物理有极其紧密联系的一个,这主要因为它的历史起源与Hamilton力学有关以及近些年来它与量子力学的联系.现在,我前面提到过的、作为电磁学基本线性方程的Maxwell方程,是Hodge在调和形式方面工作和在代数几何中应用方面工作的源动力。这是一个非常富有成果的理论,并且自从本世纪三十年代以来已经成为几何学中的许多工作的基础。


我已经提到过广义相对论和Einstein的工作。量子力学当然更是提供了一个重要的实例.这不仅仅体现在对易关系上,而且更显著地体现在对Hilbert空间和谱理论的强调上。


以一种更具体和明显的方式,结晶学的古典形式是与晶体结构的对称性有关的。第一个被研究的实例是发生在点周围的有限对称群,这是鉴于它们在结晶学中的应用。在本世纪中,群论更深刻的应用已经转向与物理的关系,被假设用来构成物质的基本粒子看起来在最小的层面上有隐藏的对称性,在这个层面上,有某些李群在此出没,对此我们看不见,但是当我们研究粒子的实际行为时,它们的对称性就显现无遗了。所以我们假定了一个模型,在这个模型当中,对称性是一个本质性的要素,而且目前那些很普遍的不同理论都有一些象SU(2)和SU(3)那样的基本李群融入其中并构成基础的对称群,因此这些李群看起来象是建设物质大厦的砖石。


并不是只有紧李群才出现在物理中,一些非紧李群也出现在物理中,例如Lorentz群.正是由物理学家第一个开始研究非紧李群的表示理论的。它们是那些能够发生在Hilbert空间的表示,这是因为,对于紧群而言,所有不可约表示都是有限维的,而非紧群需要的是无穷维表示,这也是首先由物理学家意识到的。


在二十世纪的最后25年里,正如我刚刚完成阐述的,有一种巨大的从物理学的新思想到数学的渗透,这也许是整个世纪最引人注目的事件之一,就这个问题本身,也许就需要一个完整的报告,但是,基本上来讲,量子场论和弦理论已经以引人注目的方式影响了数学的许多分支,得到了众多的新结果、新思想和新技术.这里,我的意思是指物理学家通过对物理理论的理解已经能够预言某些在数学上是对的事情了。当然,这不是一个精确的证明,但是确有非常强有力的直觉、一些特例和类比所支持。数学家们经常来检验这些由物理学家预言的结果,并且发现它们基本上是正确的,尽管给出证明是很困难的而且它们中的许多还没有被完全证明。


所以说沿着这个方向,在过去的25年里取得了巨大的成果.这些结果是极其细致的.这并不象物理学家所讲的“这是一种应该是对的东西”。他们说:“这里有明确的公式,还有头十个实例(涉及超过12位的数字)”。他们会给出关于复杂问题的准确答案,这些决不是那种靠猜测就能得到的,而是需要用机器计算的东西,量子场论提供了一个重要的工具,虽然从数学上来理解很困难,但是站在应用的角度,它有意想不到的回报。这是最近25年中真正令人兴奋的事件。


在这里我列一些重要的成果:SimonDona1dson在四维流形方面的工作;Vaughan-Jones在扭结不变量方面的工作;镜面对称,量子群;再加上我刚才提到的“魔群”。


这个主题到底讲的是什么呢?正如我在前面提到过的一样,二十世纪见证了维数的一种转换并且以转换为无穷维而告终,物理学家超越了这些,在量子场论方面,他们真正试图对广泛的无穷维空间进行细致的研究,他们处理的无穷维空间是各类典型的函数空间,它们非常复杂,不仅是因为它们是无穷维的,而且它们有复杂的代数、几何以及拓扑,还有围绕其中的很大的李群,即无穷维的李群,因此正如二十世纪数学的大部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李群和流形上分析的发展,这部分物理涉及了在无穷维情形下的类似处理.当然,这是一件非常不同的事情,但确有巨大的成功。


让我更详尽地解释一下,量子场论存在于空间和时间中.空间的真正的意义是三维的,但是有简化的模型使我们将空间取成一维.在一维空间和一维时间里,物理学家遇到的典型事物,用数学语言来讲,就是由圆周的微分同胚构成的群或者是由从圆周到一个紧李群的微分映射构成的群。它们是出现在这些维数里的量子场论中的两个非常基本的无穷维李群的例子,它们也是理所当然的数学事物并且已经被数学家们研究了一段时间。


在这样一个1+1维理论中,我们将时空取成一个Riemann曲面并且由此可以得到很多新的结果。例如,研究一个给定亏格数的Riemann曲面的模空间是个可以追溯到上个世纪的古典课题。而由量子场论已经得到了很多关于这些模空间的上同调的新结果。另一个非常类似的模空间是一个具有亏格数g的Riemann曲面上的平坦G-丛的模空间。这些空间都是非常有趣的并且量子场论给出关于它们的一些精确结果。特别地,可以得到一些关于体积的很漂亮的公式,这其中涉及到Zeta函数的取值。


另一个应用与计数曲线(counting curve)有关。如果我们来看给定次数和类型的平面代数曲线,我们想要知道的是,例如,经过那么多点究竟有多少曲线,这样我们就要面临代数几何的计数问题,这些问题在上个世纪一直是很经典的。而且也是非常困难的。现在它们已经通过被称为“量子上同调”的现代技术解决了,这完全是从量子场论中得到的。或者我们也可以接触那些关于不在平面上而在弯曲族上的曲线的更加困难的问题,这样我们得到了另一个具有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论,所有这些都产生于1+1维量子场论。


如果我们升高一个维数,也就是2-维空间和1-维时间,就可以得到Vaughan-Jones的扭结不变量理论.这个理论已经用量子场论的术语给予了很美妙的解释和分析。


量子场论另一个结果是所谓的“量子群”。现在关于量子群的最好的东西是它们的名字.明确地讲它们不是群!如果有人要问我一个量子群的定义,我也许需要用半个小时来解释,它们是复杂的事物,但毫无疑问它们与量子理论有着很深的联系它们源于物理,而且现在的应用者是那些脚踏实地的代数学家们,他们实际上用它们进行确定的计算。


如果我们将维数升得更高一些,到一个全四维理论(三加一维),这就是Donaldson的四维流形理论,在这里量子场论产生了重大影响.特别地,这还导致Seiberg和Witten建立了他们相应的理论,该理论建立在物理直觉之上并且也给出许多非同寻常的数学结果。所有这些都是些突出的例子.其实还有更多的例子。


接下来是弦理论并且这已经是过时的了!我们现在所谈论的是M一理论,这是一个内容丰富的理论,其中同样有大量的数学,从关于它的研究中得到的结果仍有待于进一步消化并且足可以让数学家们忙上相当长的时间。


历史的总结


我现在作一个简短的总结。让我概括地谈谈历史:数学究竟发生了什么?我相当随意地把十八世纪和十九世纪放在了一起,把它们当做我们称为古典数学的时代,这个时代是与Euler和Gauss这样的人联系在一起的,所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代被发现和发展的。有人也许认为那几乎就是数学的终结了,但是相反地,二十世纪实际上非常富有成果,这也是我一直在谈论的。


二十世纪大致可以一分为二地分成两部分。我认为二十世纪前半叶是被我称为“专门化的时代”,这是一个Hilbert的处理办法大行其道的时代,即努力进行形式化,仔细地定义各种事物,并在每一个领域中贯彻始终。正如我说到过的,Bourbaki的名字是与这种趋势联系在一起的.在这种趋势下,人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系统或者其它系统能获得什么。二十世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代”,在这个时代,各个领域的界限被打破了,各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域,并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。我想这是一种过于简单的说法,但是我认为这简单总结了我们所看到的二十世纪数学的一些方面。


二十一世纪会是什么呢?我已经说过,二十一世纪是量子数学的时代,或者,如果大家喜欢,可称为是无穷维数学的时代。这意味着什么呢?量子数学的含义是指我们能够恰当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数,在这里,“恰当地理解”,我是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较精确的证明。


有人要说,如果用天真幼稚的方式(naive way)来研究无穷维并问一些天真幼稚的问题,通常来讲,只能得到错误的答案或者答案是无意义的,物理的应用、洞察力和动机使得物理学家能够问一些关于无穷维的明智的问题,并且可以在有合乎情理的答案时作一些非常细致的工作,因此用这种方式分析无穷维决不是一件轻而易举的事情。我们必须沿着这条正确的道路走下去。我们已经得到了许多线索,地图已经摊开了:我们的目标已经有了,只不过还有很长的路要走。


还有什么会发生在二十一世纪?我想强调一下Connes的非交换微分几何.Alain Connes拥有这个相当宏伟的统一理论.同样,它融合了一切.它融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论,所有这一切都是它的一部分。这是一个框架性理论,它能够让我们在非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作,这当中包括与拓扑的关系。要求这样做是有很好的理由的,因为它在数论、几何、离散群等等以及在物理中都有(潜力巨大的或者特别的)应用。一个与物理有趣的联系也刚刚被发现。这个理论能够走多远,能够得到什么结果,还有待进一步观察.它理所当然地是我所期望的至少在下个世纪头十年能够得到显著发展的课题,而且找到它与尚不成熟的(精确)量子场论之间的联系是完全有可能的。


我们转到另一个方面,也就是所谓的“算术几何”或者是Arakelov几何,其试图尽可能多地将代数几何和数论的部分内容统一起来。这是一个非常成功的理论。它已经有了一个美好的开端,但仍有很长的路要走.这又有谁知道呢?


当然,所有这些都有一些共同点。我期待物理学能够将它的影响遍及所有地方,甚至是数论:Andrew Wiles不同意我这样说,只有时间会说明一切。


这些是我所能看到的在下个十年里出现的几个方面,但也有一些难以捉摸的东西:返回至低维几何.与所有无穷维的富有想象的事物在一起,低维几何的处境有些尴尬。从很多方面来看,我们开始时讨论的维数,或我们祖先开始时的维数,仍留下某些未解之谜。维数为2,3和4的对象被我们称为“低”维的.例如Thurston在三维几何的工作,目标就是能够给出一个三维流形上的几何分类,这比二维理论要深刻得多.Thurston纲领还远远没有完成,完成这个纲领当然将是一个重要的挑战。


在三维中另外一个引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本质上来源于物理的工作。这给了我们更多的关于三维的信息,并且它们几乎完全不在Thurston纲领包含的信息之内。如何将这两个方面联系起来仍然是一个巨大的挑战,但是最近得到的结果暗示两者之间可能有一座桥,因此,整个低维的领域都与物理有关,但是其中实在有太多让人琢磨不透的东西。


最后,我要提一下的是在物理学中出现的非常重要的“对偶”。这些对偶,泛泛地来讲,产生于一个量子理论被看成一个经典理论时有两种不同的实现。一个简单的例子是经典力学中的位置和动量的对偶。这样由对偶空间代替了原空间,并且在线性理论中,对偶就是Fourier变换.但是在非线性理论中,如何来代替Fourier变换是巨大的挑战之一。数学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关.物理学家看起来能够在他们的弦理论和M一理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点。他们构造了一个又一个令人叹为观止的对偶实例,在某种广义的意义下,它们是Fourier变换的无穷维非线性体现,并且看起来它们能解决问题,然而理解这些非线性对偶性看起来也是下个世纪的巨大挑战之一。


我想我就谈到这里。这里还有大量的工作,并且我觉得象我这样的一个老人可以和你们这么多的年轻人谈谈是一件非常好的事情;而且我也可以对你们说:在下个世纪,有大量的工作在等着你们去完成。
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